广义坐标

概念定义

广义坐标是描述系统位形所需的独立参数或最少参数。它不是限定为某一种具体形式的坐标，而是按照研究对象及其约束条件选取的位置描述变量。一个单自由度系统使用一个广义坐标描述其位置；当系统需要多个独立参数才能确定其位形时，则使用一组广义坐标。

广义坐标的重点在于参数是否足以描述系统位形，以及所选参数之间是否保持必要的独立性。与直接保留所有可能的位置变量相比，选取独立参数可减少用于表示约束的变量，使系统的描述集中在实际需要处理的自由度上。

广义坐标通过重新选择位形变量来处理受约束系统。分析者先依据系统的自由度和约束关系，确定能够描述位形的独立参数，再以这些参数建立力学方程。约束条件较多时，优先选用彼此独立的广义坐标，可以减少方程中专门表示约束的变量。

广义坐标并不预先指定为某种固定坐标。以一般形式的广义坐标推导方程后，所得关系能够用于较广泛的问题；在最终确定具体坐标时，先前建立的方程关系仍然成立。这种处理方式把方程结构与具体坐标选择区分开来，使同一套力学表达可以配合不同的位形参数使用。

广义坐标方法包含三个相互关联的部分：系统位形、独立参数和约束关系。系统位形是需要描述的对象；独立参数构成广义坐标或广义坐标组；约束关系则决定哪些变量可以独立选取，以及描述系统所需的最少参数数量。

自由度与广义坐标数量直接相关。单自由度系统只需一个广义坐标作为位置描述变量；具有更多自由度的系统则需要相应的一组参数。合理选取这些参数，可避免把受约束而不能独立变化的变量重复列入位形描述。

在非完整约束问题中，独立广义坐标的选择会受到约束性质影响。计算约束力时，也需要使用与该约束力相应的广义坐标，因此不能只以减少变量为唯一目标，而要让坐标选择与所求物理量相配合。

广义坐标是拉格朗日力学和哈密顿力学中表示基本概念与建立方程的重要工具。两类力学表述都可使用广义坐标描述系统位形，并以所选参数组织后续方程。

它尤其适用于含有较多约束条件的系统分析。通过采用描述位形所需的独立参数，分析过程可以减少约束变量；遇到非完整约束或需要求取约束力时，则选用与相关约束和力相对应的广义坐标。由此，广义坐标既承担位置描述功能，也连接系统自由度、约束条件与力学方程。

广义坐标的主要特点是形式不固定，并可依据具体问题选取。独立坐标能够简化受约束系统的变量组织，但坐标选择仍须符合系统位形、自由度和约束关系。若问题涉及非完整约束或约束力，单纯追求最少变量并不足够，还必须保留与相关约束作用相对应的坐标描述。